我们当然不可能也不必要就一个个具体问题Qu研究它的计算复杂性，而是依据难度去研究Ge种计算问题之间的联系，按复杂性把问题分成Bu同的类： 　　常见的时间复杂度按数量级递增排Lie依次为：常数0⑴、对数阶0(logn）、Xian形阶0(n）、线形对数阶0(nlogn）、Ping方阶0(n2）立方阶0(n3）、…、kCi方阶0(n^k）、指数阶0（2^n）。显Ran，时间复杂度为指数阶0（2^n）的算法效率Ji低，当n值稍大时就无法应用。 　　类似于时间Fu杂度的讨论，一个算法的空间复杂度（Space Complexity)S(n）Ding义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模nDe函数。渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度。Suan法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂Du。 　　注：为了表达的方便，计算机上的Fu杂度分析中使用的对数函数log(n）Yi般指取以2为底的对数 　　

　　所谓计算复杂性，通俗说来，就是用计算机Qiu解问题的难易程度。其度量标准：一是计算Suo需的步数或指令条数（这叫时间复杂度），二Shi计算所需的存储单元数量（这叫空间复杂度）的Shu籍。 　　　　

　　算法的复杂性 　　算法的复杂性是算法效Lv的度量，是评价算法优劣的重要依据。一个Suan法的复杂性的高低体现在运行该算法所需要的Ji算机资源的多少上面，所需的资源越多，我们就Shuo该算法的复杂性越高；反之，所需的资源越Di，则该算法的复杂性越低。 　　计算机的资Yuan，最重要的是时间和空间（即存储器）资源。Yin而，算法的复杂性有时间复杂性和空间复杂性Zhi分。 　　不言而喻，对于任意给定的问题，设Ji出复杂性尽可能低的算法是我们在设计算法时追Qiu的一个重要目标；另一方面，当给定的问题已You多种算法时，选择其中复杂性最低者，是我们在Xuan用算法适应遵循的一个重要准则。因此，算法的Fu杂性分析对算法的设计或选用有着重要的指导意Yi和实用价值。 　　简言之，在算法学习Guo程中，我们必须首先学会对算法的分析，Yi确定或判断算法的优劣。 　　1.时间复杂性： 　　Li1：设一程序段如下（为讨论方便，每行Qian加一行号） 　　(1) for i:=1 to n do 　　(2) for j:=1 to n do 　　(3) x:=x+1 　　...... 　　Shi问在程序运行中各步执行的次数各为多少？ 　　Jie答： 　　行号 次数(频度) 　　(1) n+1 　　(2) n*(n+1) 　　(3) n*n 　　Ke见，这段程序总的执行次数是：f(n)=2n2+2n+1。Zai这里，n可以表示问题的规模，当n趋向Wu穷大时，如果 f(n)的值很小，Ze算法优。作为初学者，我们可以用f(n)De数量级O来粗略地判断算法的时间复杂Xing，如上例中的时间复杂性可粗略地表示为T(n)=O(n2)。 　　2.Kong间复杂性: 　　例2:将一一维数组的数据钉nGe)逆序存放到原数组中,下面是实现该问题的Liang种算法: 　　算法1:for i:=1 to n do 　　b[i]:=a[n-i+1]; 　　for i:=1 to n do 　　a[i]:=b[i]; 　　Suan法2:for i:=1 to n div 2 do 　　begin 　　t:=a[i];a[i]:=a[n-i-1];a[n-i-1]:=t 　　end; 　　Suan法1的时间复杂度为2n,空间复杂度为2n 　　Suan法2的时间复杂度为3*n/2,空间复杂度为n+1 　　Xian然算法2比算法1优，这两种算法的空间复杂度可Cu略地表示为S(n)=O(n) 　　信https://www.wenku1.net/list/发展绿色物流的途径/息学比赛中，Jing常是：只要不超过内存，尽可能用空间换时间。

　　如何计算时间复杂度 　　　　定义：如果Yi个问题的规模是n，解这一问题的某一算法Suo需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)Cheng为这一算法的“时间复杂性”。 　　　　当输入Liangn逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为Suan法的“渐近时间复杂性”。 　　　　我们常Yong大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一Ge算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，You定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，Ta给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示De时候一般都习惯表示前者。 　　　　此外，一Ge问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂Xing到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算Fa是最佳算法。 　　　　“大 O记法”：在这种Miao述中使用的基本参数是 n，即问题实例De规模，把复杂性或运行时间表达为n的函Shu。这里的“O”表示量级 (order)，Bi如说“二分检索是 O(logn)的”,Ye就是说它需要“通过logn量级的步Zhou去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )Biao示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)De速度增长。 　　　　这种渐进估计对算Fa的理论分析和大致比较是非常有价值的，Dan在实践中细节也可能造成差异。例如，Yi个低附加代价的O(n2)算法在n较小De情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)Suan法运行得更快。当然，随着n足够大以后，Ju有较慢上升函数的算法必然工作得更快。 　　　　O(1) 　　　　Temp=i;i=j;j=temp; 　　　　Yi 上三条单个语句的频度均为1，该程序段的Zhi行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时Jian复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。Ru果算法的执行时 间不随着问题规模n的增Jia而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间Ye不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。 　　　　O(n^2) 　　　　2.1. Jiao换i和j的内容 　　sum=0； （Yi次） 　　for(i=1;i<=n;i++) （nCi ） 　　for(j=1;j<=n;j++) （n^2Ci ） 　　sum++； （n^2Ci ） 　　解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2) 　　　　2.2. 　　for (i=1;iJie： 语句1的频度是n-1 　　Yu句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1 　　f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2 　　Gai程序的时间复杂度T(n)=O(n^2). 　　　　O(n) 　　　　2.3. 　　a=0; 　　b=1; ① 　　for (i=1;i<=n;i++) ② 　　{ 　　s=a+b;　　　　③ 　　b=a;　　　　　④ 　　a=s;　　　　　⑤ 　　} 　　Jie： 语句1的频度：2, 　　Yu句2的频度： n, 　　Yu句3的频度： n-1,......余下Quan文>>

　　计算复杂性理论（Computational complexity theory）Shi计算理论的一部分，研究计算问题时所需的Zi源，比如时间和空间，以及如何尽可能的节省Zhe些资源。计算复杂性理论所研究的资源中最常见De是时间（要通过多少步才能解决问题）和空Jian（在解决问题时需要多少内存）。其他资源Yi可考虑，例如在并行计算中，需要多少并行Chu理器才能解决问题。时间复杂度是指在计算机Ke学与工程领域完成一个算法所需要的时间，是衡Liang一个算法优劣的重要参数。时间复杂度越小，说Ming该算法效率越高，则该算法越有价值。空间复Za度是指计算机科学领域完成一个算法所需要占用De存储空间，一般是输入参数的函数。它是算法优Lie的重要度量指标，一般来说，空间复杂度越小，Suan法越好。我们假设有一个图灵机来解决某Yi类语言的某一问题，设有X个字（word）Shu于这个问题，把X放入这个图灵机的输入端，Zhe个图灵机为解决此问题所需要的工作带格Zi数总和称为空间。复杂度理论和可计算Xing理论不同，可计算性理论的重心在于问题能否解Jue，不管需要多少资源。而复杂性理论作为计Suan理论的分支，某种程度上被认为和算法Li论是一种“矛”与“盾”的关系，即算法Li论专注于设计有效的算法，而复杂性理Lun专注于理解为什么对于某类问题，不存在You效的算法。

　　在上面我们已经知道，NP是指“在非确定Xing图灵机上有多项式时间算法的问题”的集合，ErP是指“在确定性图灵机上有多项式时间算法De问题”的集合。这里我们都考虑的是判定型问题，Ji考虑一个语言L，我们要判断一个字符串xShi不是在L中。那么，一个等价的理解是：NPShi指对在L中的x，有多项式长度的证据w，Er且对语言(x,w)是有多项式时间算法的；ErP是指对L中的x，有多项式时间算法判断x在Bu在L中。 　　举个例子，就是考虑完美匹配问题、Dian集覆盖问题和图不同构问题。这三个问题都有Tu论背影，问题的描述如下： 　　完美匹配问题：Gei定图G=(V,E)，找到边的子集F⊂E，使De对任意的v∈V，存在唯一的e∈F，v∈e；Dian集覆盖问题：给定图G=(V,E)，和Zi然数k，找到点的子集U⊂V，使得对任Yi的e∈E，存在v∈U，v∈e，且|U|≤k；Tu不同构问题：给定图G=(V,E)，H=(U,F)，|G|=|H|。Wo们说G和H是同构的，是指∃T:V→U，Dui任意的s, t∈V，满足E(s,t)=F(T(s),T(t))（Zhe里我们把边集E看作V×V→{0,1}的Ying射）。图不同构是问对G和H，是不是Bu存在这样的映射。关于这三个问题，它们Zai复杂性理论中，目前的地位如下： 　　Wan美匹配问题：在P中。可以利用艾德蒙德Suan法得到运行时间的算法；点集覆盖问题：ZaiNP中，而不知道是否在P中。实际上，它ShiNP完备问题，给出它的多项式算法将意味着证MingNP=P。它在NP中，原因是给定一个点的Zi集U⊂V，我们可以在多项式时间中验证这是否是Yi个满足|U|≤k的点集覆盖：U的大小Hen好验证。然后只需对每一条边e，遍历U中Mei一个元素v，检查是否有v∈e即可。运行时间Zhi多为O(VE)；图不同构问题：在AM中，而不Zhi道是否在NP中。它之所以困难，一个直观的想法Shi：给定两个图G和H，首先这个问题的“证据”Hen难定义——不像点集覆盖问题中，一个Jie就是一个点集，而且点集大小≤k≤|V|是Duo项式大小。这里最直接的证据的定义，Shi说必须遍历所有的映射T:V→U，并对Suo有的映射验证是否满足同构的定义。而这Yang一个证据是指数大小的。这样我们有了：在P中、ZaiNP而不知道是不是在P中、在AM中而Bu知道是不是在NP中的三个问题。 由于在Duo项式时间可以判断x在不在L中，蕴含着xBen身就是其在L中的证据的含义，所以P⊂NP。Zhe个包含关系是不是严格的呢？或者说，是不是有语YanL∈NP，使得L∉P？这就是著名的NP与PGuan系问题。从这个问题在1970年代被正式的Ti出之后，有NP完备理论赋予了它在实践Shang的重要性，有证明复杂性理论赋予了它纯数学理Lun上的重要性，有PCP理论和NP完备理论赋予了Ta算法理论上的重要性。这些理论或者在根本上依Lai于NP和P关系问题的某些假设，或者本身Jiu是试图去理解NP和P关系问题而发展出来的，Zhe使得它成为了理论计算机科学乃至数学De中心问题之一。在2000年，凯莱数Xue研究所提出了新世纪的数学中七个中心问题，NPYuP关系问题就是其中的一个。 　　关于NP与PGuan系问题最早发展出的理论是NP完备理论。Wo们在下面一节简单了解NP完备理论。 主条Mu：NP完备 　　由上面归约的知识我们知道，算Fa问题之间可以根据归约来定义相对的难度。即对问TiA和问题B，我们认为A比B简单，记为A≤B，Jiu是存在使用B问题解来解决A问题的算法M，QieM是多项式时间的。那么，在一个复杂Xing类中，有没有可能存在“最难的问题”呢？具体的DuiNP，就是说是不是存在问题A∈NP，使得对∀B∈NP，YouB≤A呢？对这样的问题，我们称它是NP完备的。 　　Zhe个问题乍看起来很不容易把握。因为这需要Dui所有的NP中的语言L，去找到一个L到ADe归约算法。然而1970年代的由史蒂Fen·库克和列昂尼德·列文分别发现的库克-Lie文定理，证明了布尔表达式（Boolean formula）De可满足性问题（SAT问题）是NP完备的。Gai括的说，他们证明了，有一个通用的过程对NPZhong任意语言在非确定性图灵机上运行历史用布尔表达Shi来编码，使得该布尔表达式是可满足的，当且Jin当该运行历史是对给定输入，接受该输入的。Zhe样，我们就有了第一个被证明是NP完备的问Ti。 　　在库克给出SAT问题是NP完备Zhi后不久，理查德·卡普证明了21个图论、组合数Xue中常见的问题都是NP完备的。这赋予了NPWan备问题在实践中的重要性。现在，已经有成Qian个在实践中遇到的算法问题被证明是NPWan备的（参见NP完备问题列表），特别的有Xu多问题，如旅行商问题等的最优算法会带来很Da的经济效益（旅行商问题的最优解可以给出Zui优的电路布线方案，而SAT的最优算法Hui促进程序验证等问题的进步）。由NP完备的定义，Wo们知道对这其中任何一个问题的多项式算法都将Gei出所有NP问题，也包括所有NP完备问题De多项式算法。然而尽管实际问题中遇到Hen多NP完备的问题，而且有很多问题在不同领https://www.wenku1.net/list/怎么样做好成本管理/Yu有着相当的重要性而被大量研究，至今，Reng没有对NP完备问题的多项式算法，这是一些Li论计算机科学家认为NP≠P的理由之一。 　　对NPHeP关系问题，NP完备理论给出了如下的An示：如果要证明NP=P，一个可能的方Xiang是对NP完备问题给出多项式算法；如果Yao证明NP≠P，那么必然的一个结果是NP完备Wen题没有多项式算法。 主条目：电Lu复杂性 　　电路复杂性理论在1990年代以前，Bei众多研究者认为是解决NP与P关系问Ti的可能的途径之一。电路复杂性研究的对象是非一Zhi性的计算模型电路，并考虑计算一个布尔函数所Xu的最小的电路的深度（depth）和大小（size）Deng资源。其中，大小为多项式大小的电路族可以计算De布尔函数被记为P/poly。可以证明，P包含ZaiP/poly之中，而卡普-利普顿定理（Karp-Lipton theorem）Biao明若P/poly在NP之中，则多项Shi层级（polynomial hierarchy）Jiang会坍缩至第二层，这是一个不大可能的结果。这两Ge结果结合起来表明，P/poly可以Dang作是分离NP与P的一个中间的工具，具Ti的途径就是证明任一个NP完全问题的Dian路大小的下界。在直观上说，电路复杂性也Rao过了NP与P问题的第一个困难：相对化证明Kun难（relativizing proofs）。 　　Zai1980年代，电路复杂性途径取得了Yi系列的成功，其中包括奇偶性函数（Parity function）ZaiAC中的下界为指数，以及团问题（clique problem）Zai单调性电路（monotone circuit）Zhong的下界为指数。然而在1994年RazborovHeRudich的著名论文自然性证明（Natural proof）Zhong指出，上面所用证明电路下界的方法，在单向函数Cun在的前提下是不可能分离NP和P的。该结果使很Duo专家对证明电路下界来分离NP和P的前景表Shi不乐观。 计算复杂性理论的基本的主题Zhi一是算法所需资源的下界。随着算法理论的发展，Ru随机算法、近似算法等算法理论的发现，计算Fu杂性理论也相应的展开了对随机算法去随机化（derandomization）He近似算法不可近似性（hardness of approximation）De研究。有趣的是，这些理论都与NP与P关Xi问题以及电路复杂性有着密切的联系。这里列表Chu一些理论计算机科学以NP与P关系问Ti为基础发展出的理论，并简单的介绍它Men的研究进https://www.wenku1.net/list/香烟中的尼古丁提取/展： 　　交互式证明系统理论；Qu随机化理论：包括伪随机数发生器（pseudorandom generator）Heextractor的构造等；不可近似性：YiPCP定理为基础，基于NP≠P和更强的唯一Xing游戏假设（Unique game conjecture），Ke以证明对一些问题不存在某近似比的近似算Fa； 　　

　　怎么会不重要呢。同样解决一个问题，如果ASuan法花的时间是log来计算的，B算法是n×n×nJin的三次方。当数据量很大的时候，B算法能Rang计算机跑死，你就慢慢等吧，而A算法早就有结Guo了。到大规模数据应用的时候，这种差别明Xian得要命。如果不重要，讲这个干什么。如果Cheng序员没有这种基本嗅觉是不合格的。

　　关于算法的复杂度计算，初学者一开始便容Yi进入完全定量的思考之中，这是难以到达的。Suan法复杂度在很多时候是对算法运行的时间一个Da概的定性（或者说大数）描述，因为很多时候无Fa精确地描述一条代码究竟执行了多少时间。Er任何一个算法运行的大多时间都集中在某一Zhu体循环之中，像for,while之类，Zhu体循环的次数往往跟某个或多个输入参数或环Jing变量有关。像O(n)、O(nlgn)、O(n^2)Zhi类描述都是围绕主体循环次数和输入参数或者环Jing变量的关系展开的。 　　下面举一个例子，从Gei定的整型数组中查找与某一数相等的数的位置，Xian然对于没有排序的数组而言，需要从数组头部开Shi向后遍历比较，那么这个主体遍历循环就跟数组De长度有关，即算法复杂度为O(n)。

　　在android开发中，程序界面的美观Yu否是非常重要的，不仅关系到用户的体验，Zhi接关系到程序的下载量等，因此，在androidKai发中，布局是一门艺术。 　　0×2 布局种类 　　San种方式布局:LinearLayout,TableLayout,RelativeLayout 　　LinearLayout：Ba每个控件单独放在一行。 　　TableLayout:Zhu要区别是一行可以存放很多控件，通过来控Zhi行。 　　RelativeLayout:通Guo相对位置来实现布局，主要利用androidTi供的一些属性值来确定。

　　算法复杂度的介绍，见百科： 　　baike.baidu.com/view/7527.htm 　　　　Shi间复杂度 　　时间频度 　　一个算法执行所Hao费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上Ji运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对Mei个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费De时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。Bing且一个算法花费的时间与算法中语句的执行Ci数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它Hua费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语Ju频度或时间频度。记为T(n)。 　　　　计算Fang法 　　1. 一般情况下，算法的基本操作重Fu执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因Ci，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n）） 　　Fen析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长Lv和f（n）的增长率成正比，所以f（n）Yue小，算法的时间复杂度越低，算法的效率Yue高。 　　2. 在计算时间复杂度的时候，先Zhao出算法的基本操作，然后根据相应的各语Ju确定它的执行次数，再找出T（n）的Tong数量级（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，nDe平方，n的三次方，2的n次方，n！），Zhao出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)Qiu极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n）） 　　　　Li：算法： 　　for（i=1;i<=n;++i） 　　{ 　　for(j=1;j<=n;++j) 　　{ 　　c[ i ][ j ]=0; //Gai步骤属于基本操作 ，执行次数：n的平Fang 次 　　for(k=1;k<=n;++k) 　　c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //Gai步骤属于基本操作 ，执行次数：n的三次Fang 次 　　} 　　} 　　则有 T（n）= n的Ping方+n的三次方，根据上面括号里的同数量级，Wo们可以确定 n的三次方 为T（n）的同数量级 　　Ze有f（n）= n的三次方，然后根据T（n）/f（n）Qiu极限可得到常数c 　　则该算法的 时间复Za度：T（n）=O（n^3） 注：n^3即是nDe3次方。 　　3.在pascal中比较容易理解，Rong易计算的方法是：看看有几重for循环，只有一Zhong则时间复杂度为O（n）,二重则为O（n^2），Yi此类推，如果有二分则为O(logn)，Er分例如快速幂、二分查找，如果一个for循Huan套一个二分，那么时间复杂度则为O(nlogn)。 　　　　Fen类 　　按数量级递增排https://www.wenku1.net/list/税务局收入核算科/列，常见的时间复Za度有： 　　常数阶O(1),对数阶O(log2n),Xian性阶O(n), 　　线性对数阶O(nlog2n),Ping方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),...， 　　kCi方阶O(n^k), 指数阶O(2^n) 。Sui着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度Bu断增大，算法的执行效率越低。 　　　　关于对Qi的理解 　　《数据结构（C语言版）》------Yan蔚敏 吴伟民编著 第15页有句话"整个算Fa的执行时间与基本操作重复执行的次数成正比。" 　　Ji本操作重复执行的次数是问题规模n的某Ge函数f(n)，于是算法的时间量度可以记为：T(n) = O( f(n) ) 　　Ru果按照这么推断，T(n)应该表示的是算法的时Jian量度，也就是算法执行的时间。 　　而该页对“Yu句频度”也有定义：指的是该语句重复执行De次数。 　　如果是基本操作所在语句重复执行的Ci数，那么就该是f(n)。 　　上边的nDu表示的问题规......余下全文>>